Super-replication problem in a jumping financial market

Incomplete markets are known to worry theoricians because not every contingent claim is replicable; however, if one can afford it, it is possible to super-replicate. This paper deals with the super-replication problem of any European contingent claim when stock prices and/or volatilities may jump at random dates. We explore a subset of all the equivalent martingale measures that correspond to markovian changes of probability. On this subset, we show that the maximum price for a contingent claim is the viscosity solution of some non linear Hamilton-Jacobi-Bellman equation that can be solved in most cases and we obtain non trivial bounds of the super-replication price in the other cases.

Les marchés incomplets constituent un problème important de la finance théorique car on ne peut couvrir tous les actifs contingents à partir des actifs du marché ; cependant, il est toujours possible de les sur-couvrir. Cet article s'intéresse au problème de sur-couverture des options européennes lorsque les prix des actifs risqués et/ou leur volatilité peuvent effectuer des sauts à des dates aléatoires. Nous explorons une partie de l'ensemble des mesures martingales équivalentes qui correspondent à des changements de probabilités markoviens. Sur ce sous-ensemble des mesures martingales équivalentes, nous montrons que le prix maximum pour les actifs contingents est solution (au sens de la viscosité) d'une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman non linéaire. Nous résolvons cette équation dans de nombreux cas et exhibons des bornes de prix non triviales lorsqu'une solution analytique explicite ne peut être trouvée.