An introduction to utility maximization with partial observation

We give an overview of the theory and methods involved in portfolio optimization problems with partial observation. By "partial observation", we mean that the drift process and the driving Brownian motion appearing in the stochastic differential equation for the asset prices are not directly observable for investors in the market. The history of asset prices is assumed to constitute the only information available to investors and the investment processes are then required to be adapted to the natural filtration of the price processes. In a complete market case, we obtain explicit formulae for the optimal wealth process in a "Bayesian" context, when the drift vector is an unobserved random variable with known prior distribution; explicit representations for the optimal investment process are only derived when the stock drift is modelled as a Gaussian process. We also consider the case of an incomplete market and characterize the optimal investment policies when the price processes of the risky assets follow a stochastic volatility model.

Nous donnons un aperçu de la théorie et des méthodes relatifs aux problèmes d'optimisation de portefeuilles en observation partielle. Par « observation partielle », nous entendons que le processus de dérive et le mouvement Brownien apparaissant dans l'équation différentielle stochastique pour les prix des actifs risqués ne sont pas directement observables par les investisseurs dans le marché. L'historique des prix des actifs risqués est supposé constituer la seule information disponible aux investisseurs et on exige des procesus d'investissement qu'ils soient adaptés à la filtration engendrée par le processus des prix. Dans le cas d'un marché complet, nous obtenons des formulas explicites pour le processus de richesse optimale dans le contexte d'un investisseur Bayésien, lorsque la dérive est une variable aléatoire de loi initiable connue ; des formulas explicites pour le processus d'investissement optimal ne sont présentées que lorsque la dérive est modélisée par un processus Gaussien. Nous considérons aussi le cas d'un marché incomplet et caractérisons les politiques d'investissement optimales lorsque le processus de prix actifs risqués suit un modèle de volatilité stochastique.