Options et couverture optimale des risques extrêmes

As soon as one accepts to abandon the zero-risk paradigm of Black-Scholes, very interesting issues concerning risk control arise because different definitions of the risk become unequivalent (in the Black-Scholes world, the risk is zero, whatever the definition of risk!). Optimal hedges then depend on the quantity one wishes to minimize. We study here the possibility of considering the fourth moment as a risk measure, since it's more sensitive to "fat-tailed" distributions of the underlying security than the quadratic criteria (variance). Compared to the variance risk-minimization approach (Bouchaud and Sornette (1994), Schweizer (1995), etc.) and a Δ-hedge d la Black-Scholes, we show that a definition of the risk more sensitive to the extreme events generically leads to a decrease both of the probability of extreme losses and of the sensitivity of the hedge on the price of the underlying (the "Gamma"). Therefore, the transaction costs and the impact of hedging on the price dynamics of the underlying are reduced. By reducing the sensitivity of the hedge on the price of the underlying, one can also hope to reduce the destabilizing effects in the market.

Au fur et à mesure que l'on abandonne la théorie de risque zéro de Black-Scholes, plusieurs choix de contrôle de risque s'offrent désormais, compte tenu du fait que différentes définitions de risque ne sont plus équivalentes (dans la théorie de Black-Scholes, le risque est nul quelque soit la définition du risque !). Dans ce cas, la couverture optimale dépend de la quantité du risque à minimiser. Dans le cadre des options, on considère dans ce papier le moment d'ordre quatre comme une nouvelle mesure du risque puisqu'il est plus sensible aux grandes fluctuations que le critère quadratique (variance). Comparée à l'optimisation de la variance (Bouchaud et Sornette, 1994; Schweizer, 1995, etc.) et la couverture en Δ à la Black-Scholes, la stratégie optimale, qui minimise le moment d'ordre quatre, permet de diminuer la sensibilité de la couverture par rapport au cours du sous-jacent. Ceci est de nature à réduire les coûts de transaction associés. De plus, la minimisation « quartique » à l'avantage de réduire la probabilité des pertes importantes, et, de manière générale, elle pourrait réduire les effets déstabilisants sur le marché, via la réduction de la sensibilité de la couverture par rapport à la dynamique du sous-jacent.