Properties of the Efficient Frontier with Short-Sales Restriction

In Assett Pricing Theory, the efficient frontier approach has recently regained considerable attention. It stresses the fact that the economic content of the theory lies in the composition of the efficient portfolios. A simple analytical formulation of the mean-variance efficient frontier has been derived, under the assumption that no restriction existed on the investments in every asset and that short sales were fully allowed. Then, the efficient frontier is an hyperbola in the mean-standard deviation plane and the efficient portfolio composition, as well as the beta of all assets relative to any efficient portfolio, are simple functions of the return of the efficient portfolio. No closed form solutions of the efficient frontier exist, however, if there are constraint on the asset proportions in the portfolio and especially if short sales are not allowed. Interesting properties of this « positive efficient frontier » are derived from the observation that it is made up of segments of efficient frontiers constructed from various sets of assets. This paper studies the properties of the asset risk (beta) computed relative to a positive efficient portfolio. It shows that the relation between asset returns and betas (relative to a positive efficient portfolio) is not linear and the performance measures are either null or negative. For example, if the stock market portfolio is positive efficient, the alphas of all excluded assets (bonds, gold, real estate, ...) must be negative. Assuming that investors hold homogeneous expectations, equilibrium relations are then derived when some investors or/and some assets are under short selling constraint. The market portfolio of all assets will generally hot be efficient (and the traditional CAPM will not hold) ; furthermore the assets which cannot be shorted will tend to have a lower expected return for the same level of risk relative to the market portfolio.

Dans la théorie de l'évaluation des actifs, l'analyse de la frontière efficiente a récemment fait l'objet de beaucoup d'attention. Elle repose sur l'idée que tout le contenu économique de la théorie réside dans la composition des portefeuilles efficients. L'on connaît une formulation analytique simple de la frontière efficiente dans l'hypothèse de liberté totale des placements dans les différents actifs et de possibilité de vente à découvert. Alors la frontière efficiente est une hyperbole dans le plan espérance - écart type et la composition du portefeuille efficient, aussi bien que le bêta de chaque actif, mesuré par rapport à n'importe quel portefeuille efficient, sont des fonctions simples de l'espérance de rendement du portefeuille efficient considéré. Cependant, il n'existe pas de formulation explicite de la frontière efficiente s'il y a des contraintes sur la composition du portefeuille et en particulier si les ventes à découvert sont interdites. Des propriétés intéressantes de cette « frontière efficiente positive » sont tirées du fait qu'elle est constituée de fragments de frontières efficientes construites à partir de sousensembles d'actifs. Le présent article étudie les propriétés du risque de l'actif (bêta) calculé par rapport à un portefeuille « efficient positif». Il montre que la relation entre l'espérance de rendement d'un actif et son bêta, calculé ainsi, n'est pas linéaire et que les mesures de performance sont soit nulles, soit négatives. Par exemple, si le portefeuille de marché est « efficient positif», les alphas de tous les actifs exclus (obligations, or, immobilier...) doivent être négatifs. En supposant que les investisseurs ont des anticipations homogènes, des relations d'équilibre sont obtenues pour le cas où certains investisseurs et/ou certains actifs ne peuvent vendre ou être vendus à découvert. Le portefeuille de marché de tous les actifs ne sera pas en général efficient (et le MEDAF traditionnel ne sera pas valable) : de plus les actifs qui ne peuvent être vendus à découvert auront une espérance de rendement plus faible pour un même niveau de risque, mesuré par rapport au portefeuille de marché.